Giải bài 9 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm các giới hạn sau: a) lim; b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}; c) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}; d) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x} } \right).
Đề bài
Tìm các giới hạn sau:
a) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + 4}};
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}};
c) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }};
d) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x} } \right).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = M, khi đó: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M, \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0 (với c là hằng số, k là số nguyên dương)
Lời giải chi tiết
a) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{4}{x}}} = \frac{1}{{1 + 4\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x}}} = \frac{1}{{1 + 4.0}} = 1;
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} + 1}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = \frac{{2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = \frac{{2 + 0}}{{{{\left( {2 + 0} \right)}^2}}} = \frac{1}{2};
c) Với x < 0 thì \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| = - x.
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {3 + \frac{1}{x}} \right)}}{{ - x\sqrt {1 - \frac{2}{x}} }} = \frac{{3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x}} }} = \frac{{3 + 0}}{{ - \sqrt {1 - 0} }} = - 3;
d) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {x - \sqrt {{x^2} + 2x} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} + 2x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{x + \sqrt {{x^2} + 2x} }}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2}}{{1 + \sqrt {1 + \frac{2}{x}} }} = \frac{{ - 2}}{{1 + \sqrt {1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x}} }} = \frac{{ - 2}}{{1 + \sqrt {1 + 0} }} = - 1.