Giải bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hàm số y=f(x)={x2+ax+bkhi|x|<2x(2−x)khi|x|≥2. Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y=f(x) liên tục trên R.
Đề bài
Cho hàm số y=f(x)={x2+ax+bkhi|x|<2x(2−x)khi|x|≥2. Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số y=f(x) liên tục trên R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a, b: Cho hàm limsố\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)y = f\left( x \right) xác định trên khoảng K và {x_0} \in K. Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là liên tục tại điểm {x_0} nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).
Lời giải chi tiết
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left( {2 - 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right);
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = \left( { - 2} \right)\left( {2 + 2} \right) = - 8 = f\left( { - 2} \right)
Hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \mathbb{R} khi hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại x = 2 và x = - 2.
Do đó, \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\4 - 2a + b = - 8\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 4\\ - 2a + b = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left( {2 - 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right);
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4