Giải bài tập 12 trang 88, 89 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O'B'C'D' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O'(0; 0; a) với a > 0. a) Chứng minh rằng đường chéo O'C vuông góc với mặt phẳng (OB'D'). b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O'C và mặt phẳng (OB'D') là trọng tâm của tam giác OB'D'. c) Tính khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (C'BD). d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO'D) và (C'BD).
Đề bài
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương OBCD.O ' B ' C ' D ' có O(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), O ' (0; 0; a) với a > 0.
a) Chứng minh rằng đường chéo O ' C vuông góc với mặt phẳng (OB ' D ' ).
b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo O ' C và mặt phẳng (OB ' D ' ) là trọng tâm của tam giác OB ' D ' .
c) Tính khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng (C ' BD).
d) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (CO ' D) và (C ' BD).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương, từ đó suy ra \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB ' D ' ). Suy ra O ' C vuông góc với mặt phẳng (OB ' D ' ).
b) + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (OB’D’).
+ Viết phương trình tham số đường thẳng O’C.
+ Tìm giao điểm G của mặt phẳng (OB’D’) và đường thẳng O’C.
+ Tìm G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’.
+ Chứng minh được G trùng G’.
c) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Khoảng cách từ điểm \({M_o}\left( {{x_o};{y_o};{z_o}} \right)\) đến mặt phẳng (P): \(Ax + By + Cz + D = 0\) (\({A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)) được tính theo công thức: \(d\left( {{M_o},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_o} + B{y_o} + C{z_o} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
d) Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó ta có: \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C};{y_C} - a;{z_C}} \right)\).
Vì OBCD.O ' B ' C ' D là hình lập phương nên OBCD là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} - a = 0\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = a\\{z_C} = 0\end{array} \right.\). Suy ra, C(a; a; 0).
Gọi \(D'\left( {{x_{D'}};{y_{D'}};{z_{D'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {DD'} = \left( {{x_{D'}};{y_{D'}} - a;{z_{D'}}} \right)\).
Vì OBCD.O ' B ' C ' D là hình lập phương nên ODD’O’ là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} - a = 0\\{z_{D'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D'}} = 0\\{y_{D'}} = a\\{z_{D'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, D’(0; a; a).
Gọi \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {BB'} = \left( {{x_{B'}} - a;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\).
Vì OBCD.O ' B ' C ' D là hình lập phương nên OBB’O’ là hình vuông.
Do đó: \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - a = 0\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = a\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = a\end{array} \right.\). Suy ra, B’(a; 0; a).
a) Ta có: \(\overrightarrow {OB'} = \left( {a;0;a} \right),\overrightarrow {OD'} = \left( {0;a;a} \right)\)\(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&a\\a&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\a&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&0\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Lại có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = - a.\overrightarrow {O'C} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {O'C} ,\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right]\) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {O'C} \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OB’D’). Vậy O ' C vuông góc với mặt phẳng (OB ' D ' ).
b) Mặt phẳng (OB’D’) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OB'} ,\overrightarrow {OD'} } \right] = \left( { - {a^2}; - {a^2};{a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm O(0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (OB’D’) là:
\( - {a^2}\left( {x - 0} \right) - {a^2}\left( {y - 0} \right) + {a^2}\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z = 0\) (Do \(a > 0\))
Đường thẳng O’C đi qua điểm O ' (0; 0; a) và nhận \(\frac{1}{a}\overrightarrow {O'C} = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng O’C là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = a - t\end{array} \right.\) (t là tham số).
Gọi G là giao điểm của đường thẳng O’C và mặt phẳng (OB’D’).
Vì G thuôc O’C nên G(t; t; a-t). Vì G thuộc mặt phẳng (OB’D’) nên:
\(t + t - \left( {a - t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{a}{3}\). Do đó, \(G\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Gọi G’ là trọng tâm của tam giác OB’D’ nên \(G'\left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{{2a}}{3}} \right)\).
Khi đó, G trùng với G’. Vậy giao điểm của đường chéo O ' C và mặt phẳng (OB ' D ' ) là trọng tâm của tam giác OB ' D ' .
c) Gọi \(C'\left( {{x_{C'}};{y_{C'}};{z_{C'}}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OO'} = \left( {0;0;a} \right),\overrightarrow {CC'} = \left( {{x_{C'}} - a;{y_{C'}} - a;{z_{C'}}} \right)\).
Vì OBCD.O ' B ' C ' D là hình lập phương nên \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {OO'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - a = 0\\{y_{C'}} - a = 0\\{z_{C'}} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} = a\\{y_{C'}} = a\\{z_{C'}} = a\end{array} \right.\).
Suy ra, C’(a; a; a).
Ta có: \(\overrightarrow {C'B} = \left( {0; - a; - a} \right),\overrightarrow {C'D} = \left( { - a;0 - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&{ - a}\\0&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&0\\{ - a}&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (C ' BD) nhận \(\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {{a^2};{a^2}; - {a^2}} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm D(0; a; 0) nên có phương trình: \({a^2}.x + {a^2}\left( {y - a} \right) - {a^2}z = 0 \Leftrightarrow x + y - z - a = 0\)
Ta có: \(d\left( {B',\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - a - a} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).
d) Ta có: \(\overrightarrow {O'C} = \left( {a;a; - a} \right),\overrightarrow {O'D} = \left( {0;a; - a} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - a}\\a&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&a\\{ - a}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a\\0&a\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;{a^2};{a^2}} \right)\)
Mặt phẳng (CO’D) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {O'C} ,\overrightarrow {O'D} } \right] = \left( {0;1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến, mặt phẳng (C ' BD) nhận \(\frac{1}{{{a^2}}}\left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\cos \left( {\left( {CO'D} \right),\left( {C'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.1 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\).