Giải bài tập 2 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).
Đề bài
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) x2+y2+z2+5x−7y+z−1=0.
b) x2+y2+z2+4x+6y−2z+100=0.
c) x2+y2+z2−x−y−z+12=0.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0. Xác định a, b, c, d và tính a2+b2+c2−d, rồi rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết
a) Phương trình x2+y2+z2+5x−7y+z−1=0 là phương trình có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a=−52, b=72, c=−12 và d=−1.
Ta có a2+b2+c2−d=(−52)2+(72)2+(−12)2+1=794>0.
Vậy phương trình x2+y2+z2+5x−7y+z−1=0 là phương trình mặt cầu có tâm I(−52;72;−12) và bán kính R=√792.
b) Phương trình x2+y2+z2+4x+6y−2z+100=0 là phương trình có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a=−2, b=−3, c=1 và d=100.
Ta có a2+b2+c2−d=(−2)2+(−3)2+12−100=−86<0.
Vậy phương trình x2+y2+z2+4x+6y−2z+100=0 không phải là phương trình mặt cầu.
c) Phương trình x2+y2+z2−x−y−z+12=0 là phương trình có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 với a=b=c=12 và d=12.
Ta có a2+b2+c2−d=(12)2+(12)2+(12)2−12=14>0.
Vậy phương trình x2+y2+z2−x−y−z+12=0 là phương trình mặt cầu có tâm I(12;12;12) và bán kính R=√14=12.