Giải bài tập 4.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho các hàm số \(f(x)\), \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;3]\) thỏa mãn \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx = 2\), \(\int_{ - 1}^3 f (x)dx = 6\), và \(\int_{ - 1}^2 g (x)dx = - 1\). Tính: a) \(\int_2^3 f (x)dx\); b) \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} dx\).
Đề bài
Cho các hàm số \(f(x)\), \(g(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;3]\) thỏa mãn \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx = 2\), \(\int_{ - 1}^3 f (x)dx = 6\), và \(\int_{ - 1}^2 g (x)dx = - 1\). Tính:
a) \(\int_2^3 f (x)dx\);
b) \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Để tính \(\int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng quy tắc tính tích phân trên đoạn chia nhỏ:
\(\int_{ - 1}^3 f (x){\mkern 1mu} dx = \int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\)
Suy ra, ta có thể tính \(\int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\) bằng cách lấy hiệu của \(\int_{ - 1}^3 f (x){\mkern 1mu} dx\) và \(\int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx\).
b) Để tính tích phân \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng quy tắc tích phân của một tổng:
\(\int {\left( {u(x) + v(x)} \right)} dx = \int u (x)dx + \int v (x)dx\)
Cụ thể:
\(I = \int_{ - 1}^2 x {\mkern 1mu} dx + 2\int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx - 3\int_{ - 1}^2 g (x){\mkern 1mu} dx\)
Sau đó tính từng tích phân một cách riêng rẽ và cộng lại để có kết quả cuối cùng.
Lời giải chi tiết
a) Tính \(\int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\) Ta có:
\(\int_{ - 1}^3 f (x){\mkern 1mu} dx = \int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\)
Thay các giá trị đã biết:
\(6 = 2 + \int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx\)
Suy ra:
\(\int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx = 6 - 2 = 4\)
b) Tính \(I = \int_{ - 1}^2 {\left( {x + 2f(x) - 3g(x)} \right)} {\mkern 1mu} dx\) Ta có:
\(I = \int_{ - 1}^2 x {\mkern 1mu} dx + 2\int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx - 3\int_{ - 1}^2 g (x){\mkern 1mu} dx\)
- Tính \(\int_{ - 1}^2 x {\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^2 x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\)
- Tính \(2\int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx\):
\(2\int_{ - 1}^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2 \times 2 = 4\)
- Tính \( - 3\int_{ - 1}^2 g (x){\mkern 1mu} dx\):
\( - 3\int_{ - 1}^2 g (x){\mkern 1mu} dx = - 3 \times ( - 1) = 3\)
Vậy:
\(I = 1,5 + 4 + 3 = 8,5\).