Giải bài tập 4. 9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem $t = 0$ là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số $T(t)$. Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi $T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}$(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm $t = 30$ phút.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t$ phút được cho bởi:

$T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}$

Để tìm hàm số $T(t)$, ta sẽ tích phân hàm $T'(t)$:

$T(t) = \int {T'} (t){\mkern 1mu} dt = \int  -  \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt$

Sử dụng phương pháp thay biến để tính tích phân. Đặt:

$u =  - \frac{t}{{50}} \Rightarrow du =  - \frac{1}{{50}}{\mkern 1mu} dt \Rightarrow dt =  - 50{\mkern 1mu} du$

Thay vào tích phân:

$\int  -  \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt = \int  -  \frac{3}{2}{e^u} \cdot ( - 50){\mkern 1mu} du$

$= 75\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du$

$= 75{e^u} + C$

$= 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C$

Vậy hàm số $T(t)$ có dạng:

$T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C$

Theo đề bài khi $t = 0$ phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

$T(0) = 95$

$95 = 75{e^0} + C$

$95 = 75 + C$

$C = 20$

Vậy hàm số $T(t)$ là:

$T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20$

Thay $t = 30$ vào hàm số $T(t)$:

$T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16$

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm $t = 30$ phút là khoảng $61,16^\circ C$.