Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho mặt cầu có phương trình (x−1)2+(y+2)2+(z−7)2=100. a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Đề bài
Cho mặt cầu có phương trình (x−1)2+(y+2)2+(z−7)2=100.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có là: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
b) Sử dụng kiến thức về vị trí của điểm so với mặt cầu để tìm bán kính của mặt cầu: Cho mặt cầu tâm I, bán kính R và điểm M bất kì trong không gian. Khi đó:
+ Điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi IM=R.
+ Điểm M nằm ngoài mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi IM>R.
+ Điểm M nằm trong mặt cầu tâm I, bán kính R khi và chỉ khi IM<R.
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (x−1)2+(y+2)2+(z−7)2=100
⇔(x−1)2+(y−(−2))2+(z−7)2=102
Do đó, mặt cầu đã cho có tâm I(1; -2; 7) và bán kính R=10.
b) Ta có: IA=√(1−1)2+(1−(−2))2+(1−7)2=√45<R nên điểm A nằm trong mặt cầu đã cho.
IB=√(9−1)2+(4−(−2))2+(7−7)2=10=R nên điểm B nằm trên mặt cầu đã cho.
IC=√(9−1)2+(9−(−2))2+(10−7)2=√194>R nên điểm C nằm ngoài mặt cầu đã cho.