Giải bài tập 5 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: a) (BD bot AB,CD bot AC.) b) Tứ giác BHCD là hình bình hành. c) (A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.) d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(BD \bot AB,CD \bot AC.\)
b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) \(A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}.\)
d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Dựa vào định lý: Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó vuông.
b) Chứng minh BH//CD, HC//BD thông qua mối quan hệ từ vuông góc đến song song.
c) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACD.
d) H, M, D thẳng hàng: Chỉ ra M là giao điểm của 2 đường chéo trong hình bình hành BHCD.
AH = 2OM: Chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AHD.
Lời giải chi tiết
a) Chứng minh: \(BD \bot AB\)
Vì tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OB = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra \(OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\)
Do đó \(OB = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\)
Xét tam giác ABD có đường trung tuyến BO và \(OB = \frac{{AD}}{2}\) nên tam giác ABD vuông tại B, suy ra \(BD \bot AB\)
Chứng minh: \(CD \bot AC.\)
Vì tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) nên AO = OC = OD Mà AD là đường kính của (O) suy ra \(OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\)
Do đó \(OC = OA = OD = \frac{{AD}}{2}.\)
Xét tam giác ACD có đường trung tuyến CO và \(OC = \frac{{AD}}{2}\) nên tam giác ACD vuông tại C, suy ra \(CD \bot AC.\)
b) Ta có: H là trực tâm của tam giác ABC nên \(BH \bot AC\),\(CH \bot AB\)
Ta lại có:
\(BH \bot AC\), \(CD \bot AC\)(câu a) nên BH // DC.
\(CH \bot AB\), \(BD \bot AB\) (câu a) nên CH // BD.
Xét BHCD có: BH // DC, CH // BD (cmt) suy ra BHCD là hình bình hành (dhnb).
c) Do BHCD là hình bình hành nên BH = CD.
Xét tam giác ADC vuông tại C có: \(A{C^2} + C{D^2} = A{D^2}\), mà BH = CD, AD = 2R nên:
\(A{C^2} + B{H^2} = 4{R^2}\).
d) Do BHCD là hình bình hành, M là trung điểm của đường chéo BC nên M cũng là trung điểm của đường chéo HD. Hay H, M, D thẳng hàng.
Xét tam giác AHD có: M là trung điểm của HD (cmt), O là trung điểm của AD nên OM là đường trung bình, suy ra \(OM = \frac{1}{2}AH\) hay \(AH = 2OM.\)