Giải bài tập 6 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau: A. (y = frac{{5x + 1}}{{3x - 2}}) B. (y = frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}) C. (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} - 4} }})
Đề bài
Tìm các đường TCN và TCĐ của mỗi hàm số sau:
A. y=5x+13x−2
B. y=2x3−3xx3+1
C. y=x√x2−4
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm TXD.
Phân tích hàm số.
Tìm TCD, TCN.
Lời giải chi tiết
A. y=5x+13x−2
Tập xác định: R∖{23}
Đặt mẫu: 3x−2=0 → x=23.
Ta có: lim; \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} (3x - 2) = 3.\frac{2}{3} - 2 = 0.
Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{2}{3}} \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \infty .
Vậy hàm số có TCĐ là: x = \frac{2}{3}.
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5x + 1}}{{3x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{5 + \frac{1}{x}}}{{3 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{3}.
Vậy, hàm số có TCN là: y = \frac{5}{3}.
B. y = \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}}
TXĐ: \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}
Đặt mẫu {x^3} + 1 = 0 → x = - 1.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (2{x^3} - 3x) = 2.{( - 1)^3} - 3.( - 1) = 1; \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^3} + 1) = {( - 1)^3} + 1 = 0.
Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \infty .
Vậy hàm số có TCĐ là: x = - 1.
Ta có:
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2{x^3} - 3x}}{{{x^3} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}} = 2.
Vậy hàm số có TCN là: y = 2.
C. y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}
TXĐ: x \in \left[ { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right]
Đặt mẫu \sqrt {{x^2} - 4} = 0 → x = - 2;\;x = 2.
Vậy hàm số có TCĐ là: x = - 2;\;x = 2.
Ta có
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1;
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{ - x\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{ - \sqrt 1 }} = - 1.
Vậy hàm số có TCN là: y = 1;\;y = - 1.