Giải bài tập 6 trang 81 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính $\cos \widehat {BAC}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (6; - 3;5),\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 3)$

$\overrightarrow {AB}  \ne k\overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

b) Ta có: $AB = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2} + {5^2}}  = \sqrt {70}$

$AC = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}}  = \sqrt {14}$

$\overrightarrow {BC}  = ( - 4;2; - 8) \Rightarrow BC = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {2^2} + {{( - 8)}^2}}  = 2\sqrt {21}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt {70}$+ $\sqrt {14}$+ $2\sqrt {21}$

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $G(\frac{{ - 2 + 4 + 0}}{3};\frac{{3 + 0 + 2}}{3};\frac{{0 + 5 - 3}}{3}) \Rightarrow G(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3})$

d) $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{6.2 - 3.( - 1) + 5.( - 3)}}{{\sqrt {70} .\sqrt {14} }} = 0$