Giải mục 2 trang 17, 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Nếu cho b = a trong các công thức:

$\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b;$

$\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b;$

$\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$

thì ta thu được các công thức nào?

Phương pháp giải:

Thay b = a vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\sin \left( {2a} \right) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a;\\\cos \left( {2a} \right) = \cos a\cos a - \sin a\sin a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a;\\\tan \left( {2a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}.\end{array}$

Luyện tập 2

a) Cho $\cos \alpha  =  - \frac{1}{4}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$. Tính $\sin 2\alpha$ và $\tan 2\alpha$.

b) Không dùng máy tính cầm tay, tính $\cos 112,{5^0}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác, hệ thức giữa các góc lượng giác liên quan và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{{15}}{{16}}$

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ nên $\sin a = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

$\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt {15} }}{{16}}$

$\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}:\left( { - \frac{1}{4}} \right) =  - \sqrt {15}$

b) Ta có: $\cos {225^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{180}^0}} \right) =  - \cos {45^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

${\cos ^2}112,{5^0} = \frac{{1 + \cos {{225}^0}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}$

$\Rightarrow \cos 112,{5^0} =  - \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  =  - \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}$

Vận dụng 2

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm mặt đất đã di chuyển được một khoảng cách d (m) theo phương nằm ngang. Biết rằng $d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}$, trong đó ${v_0}$ (m/s) là vận tốc ban đầu của quả bóng, g là gia tốc trọng trường và $\theta$ là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang (nguồn: https://pressbooks.uiowa.edu/clonedbook/chapter/projectile-motion/ ). Tính giá trị của $\cos 2\theta$ và $\sin \theta$ khi ${v_0}$= 15 m/s, d = 12,5 m, g = 10 m/s ² và ${0^0} < \theta  < {45^0}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức cơ bản giữa các góc lượng giác và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}\\ \Leftrightarrow 12,5 = \frac{{{{15}^2}.\sin 2\theta }}{{10}}\\ \Rightarrow \sin 2\theta  = \frac{5}{9}\end{array}$

Lại có: ${\cos ^2}2\theta  = 1 - {\sin ^2}2\theta  = \frac{{56}}{{81}}$

Mà ${0^0} < \theta  < {45^0} \Rightarrow {0^0} < 2\theta  < {90^0}$$\Rightarrow \cos 2\theta  = \frac{{2\sqrt {14} }}{9}$

${\sin ^2}\theta  = \frac{{1 - \cos 2\theta }}{2} = \frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}$

Mà ${0^0} < \theta  < {45^0}$$\Rightarrow \sin \theta  = \sqrt {\frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}}$