Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Hoạt động 2

Một vật chuyển động thẳng với phương trình $s\left( t \right) = {t^3} + t$, với $s$ tính bằng mét và $t$ tính bằng giây

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t$.

b) Cho biết gia tốc trung bình (đơn vị $m/{s^2}$) của vật trong khoảng thời gian $\left[ {{t_0};t} \right]$ được tính bởi công thức ${a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$. Hãy tính gia tốc trung bình trong các khoảng thời gian $\left[ {{t_0};t} \right]$ với ${t_0} = 2$ và $t$ lần lượt là $2,1$; $2,01$; $2,001$. Sau đó, hoàn thành Bảng 7.3.

Phương pháp giải:

a) $v\left( t \right) = s'\left( t \right)$; công thức tính đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}$

b) Tính ${a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$. Sau đó thay $t$ và ${t_0}$ vào ${a_{tb}}$

Lời giải chi tiết:

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} + t} \right)' = 3{t^2} + 1$

b) $v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right) = \left( {3{t^2} + 1} \right) - \left( {3t_0^2 + 1} \right) = 3\left( {t - {t_0}} \right)\left( {t + {t_0}} \right)$

Suy ra ${a_{tb}} = \frac{{v\left( t \right) - v\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = 3\left( {t + {t_0}} \right)$ tại ${t_0} = 2$ là ${a_{tb}} = 3\left( {t + 2} \right)$

+) Với $t = 2,1$ ta có ${a_{tb}} = 3.\left( {2,1 + 2} \right) = 12,3$

+) Với $t = 2,01$ ta có ${a_{tb}} = 3.\left( {2,01 + 2} \right) = 12,03$

+) Với $t = 2,001$ ta có ${a_{tb}} = 3.\left( {2,001 + 2} \right) = 12,003$

Vậy ta có bảng sau

Luyện tập 2

Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo dao động quanh vị trí cân bằng $O$ là $x = 4\cos 2t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $x$ tính bằng $cm$. Tính gia tốc của con lắc tại thời điểm $t$.

Phương pháp giải:

+) $a\left( t \right) = x''\left( t \right)$

+) $\left( {\cos u} \right) =  - u'.\sin u;\,\,\,\left( {\sin u} \right) = u'.\cos u$

Lời giải chi tiết:

Ta có $x' = \left( {4\cos 2t} \right)' =  - 4.\sin 2t.\left( {2t} \right)' =  - 8\sin 2t$

$a\left( t \right) = x'' =  - 8.\cos 2t.\left( {2t} \right)' =  - 16\cos 2t$