Giải mục 2 trang 63, 64, 65 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo
a) Nếu
HĐ3
a) Nếu ΔA′B′C′=ΔABC thì tam giác A′B′C′ có đồng dạng với tam giác ABC không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
b) Cho tam giác ΔA′B′C′∽ theo tỉ số đồng dạng k thì \Delta ABC\backsim\Delta A'B'C' theo tỉ số nào?
Phương pháp giải:
Hai tam giác bằng nhau thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.
Tỉ số đồng dạng là tỉ số các cạnh tương ứng.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu \Delta A'B'C' = \Delta ABC thì tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC. Vì hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau.
Khi đó, \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 1\end{array} \right.. Vậy \Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC và tỉ số đồng dạng là 1.
b) Vì \Delta A'B'C'\backsim\Delta ABC theo tỉ số đồng dạng là k nên tỉ số đồng dạng là: \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k.
Khi đó, \Delta ABC\backsim\Delta A'B'C' đồng dạng với tỉ số đồng dạng là: \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{k}.
Vậy \Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'theo tỉ số \frac{1}{k}.
TH2
Quan sát Hình 4, cho biết \Delta ADE\backsim\Delta AMN,\Delta AMN\backsim\Delta ABC,DE là đường trung bình của tam giác AMN,MN là đường trung bình của tam giác ABC. Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Phương pháp giải:
Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu
\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'};\widehat C = \widehat {C'}\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\end{array} \right.
Tỉ số đồng dạng là \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k
Lời giải chi tiết:
Vì \Delta ADE\backsim\Delta AMN nên \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}}\end{array} \right.
Vì DE là đường trung bình của tam giác AMNnên DE = \frac{1}{2}MN
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {ADE} = \widehat {AMN};\widehat {AED} = \widehat {ANM}\\\frac{{AD}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{DE}}{{MN}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.
\Rightarrow AM = 2AD;AN = 2AE;MN = 2DE
Lại có, \Delta AMN\backsim\Delta ABC nên \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\end{array} \right.
Vì MN là đường trung bình của tam giác ABCnên MN = \frac{1}{2}BC
\left\{ \begin{array}{l}\widehat A = \widehat A;\widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB}\\\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.
\Rightarrow AB = 2AM;AC = 2AN;BC = 2MN
Vì tam giác \Delta ADE\backsim\Delta AMN,\Delta AMN\backsim\Delta ABC, nên \Delta ADE\backsim\Delta ABC
Tỉ số đồng dạng là: \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{\frac{{AM}}{2}}}{{2AM}} = \frac{1}{4}.
Vậy tỉ số đồng dạng là \frac{1}{4}.
HĐ4
Quan sát Hình 5, biết MN//BC. Hãy điển ? cho thích hợp.
\Delta AMN và\Delta ABC có:
\widehat A chung;
\widehat M = ?;
\widehat N = ?;
\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{?}{?}
Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tam giác AMN và tam giác ABC.
Phương pháp giải:
- Tính chất hai đường thẳng song song
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì sẽ tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Hệ quả định lí Thales
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết:
Vì MN//BC nên \widehat {AMN} = \widehat {ABC};\widehat {ANM} = \widehat {ACB} (các cặp góc đồng vị)
Xét tam giác ABC có, MN//BC nên theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}.
Vậy trong các ô trống cần điền là:
\widehat A chung;
\widehat M = \widehat B;
\widehat N = \widehat C;
\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}.
Tam giác \Delta AMN và\Delta ABC có các góc tương ứng bằng nhau và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau nên \Delta AMN đồng dạng \Delta ABC.
TH3
Quan sát Hình 8, cho biết DC//MP,EF//MQ.
a) Chứng minh rằng \Delta EPF\backsim\Delta DCQ.
b) \Delta ICF có đồng dạng với \Delta MPQkhông? Tại sao?
Phương pháp giải:
- Nếu \Delta ABC\backsim\Delta A'B'C' và \Delta ABC\backsim\Delta A''B''C'' thì \Delta A'B'C'\backsim\Delta A''B''C''.
- Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Xét tam giác MPQcó EF//MQ nên \Delta MPQ\backsim\Delta EPF (định lí) (1)
Xét tam giác MPQcó DC//MP nên \Delta MPQ\backsim\Delta DCQ (định lí) (2)
Từ (1) và (2) \Delta EPF\backsim\Delta DCQ (tính chất tam giác đồng dạng)
b) Xét tam giác EPFcó IC//EP nên \Delta ICF\backsim\Delta EPF (định lí) (3)
Từ (1) và (3) suy ra, \Delta ICF\backsim\Delta MPQ.
VD
Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng \Delta IEB\backsim\Delta IDA.
b) Cho biết CB = 3BE và AI = 9cm. Tính DC.
Phương pháp giải:
Nếu một đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Do ABCD là hình bình hành nên BC//AD \Rightarrow EB//AD
Xét tam giác IDA có
EB//AD;EB cắt AI;ID tại B;E.
Do đó, \Delta IEB\backsim\Delta IDA (định lí)
b) Ta có: \Delta IEB\backsim\Delta IDA \Rightarrow \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BE}}{{DA}} (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Mà CB = AD;CB = 3BE \Rightarrow AD = 3BE;AI = 9cm nên ta có:
\frac{{IB}}{9} = \frac{{BE}}{{3BE}} = \frac{1}{3} \Rightarrow IB = \frac{{9.1}}{3} = 3(cm).
\Rightarrow AB = AI + IB = 9 + 3 = 12cm Mà DC = AB (ABCD là hình bình hành \Rightarrow DC = 12cm
Vậy DC = 12cm.