Giải mục 4 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Khi chưa có máy tính, người ta thường tính các lôgarit dựa trên bảng giá trị các lôgarit thập phân đã được xây dựng sẵn. Chẳng hạn, để tính $x = {\log _2}15$, người ta viết ${2^x} = 15$ rồi lấy lôgarit thập phân hai vế, nhận được $x\log 2 = \log 15$ hay $x = \frac{{\log 15}}{{\log 2}}$.

Sử dụng cách làm này, tính ${\log _a}N$ theo $\log a$ và $\log N$ với $a,N > 0,a \ne 1$.

Phương pháp giải:

Biến đổi rồi lấy lôgarit thập phân hai vế.

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = {\log _a}N \Leftrightarrow {a^x} = N \Leftrightarrow \log {a^x} = \log N \Leftrightarrow x\log a = \log N \Leftrightarrow x = \frac{{\log N}}{{\log a}}$

Vậy ${\log _a}N = \frac{{\log N}}{{\log a}}$

Thực hành 4

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${\log _{\frac{1}{4}}}8$;

b) ${\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}8$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số.

Lời giải chi tiết:

a) ${\log _{\frac{1}{4}}}8 = {\log _{{2^{ - 2}}}}{2^3} = \frac{3}{{ - 2}}{\log _2}2 =  - \frac{3}{2}$.

b) ${\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}8 = {\log _4}5.\frac{{{{\log }_4}6}}{{{{\log }_4}5}}.\frac{{{{\log }_4}8}}{{{{\log }_4}6}} = {\log _4}8 = {\log _{{2^2}}}{2^3} = \frac{3}{2}{\log _2}2 = \frac{3}{2}$.

Thực hành 5

Đặt ${\log _3}2 = a,{\log _3}7 = b$. Biểu thị ${\log _{12}}21$ theo $a$ và $b$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đổi cơ số, đưa về lôgarit cơ số 3.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\log _{12}}21 = \frac{{{{\log }_3}21}}{{{{\log }_3}12}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {7.3} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {{2^2}.3} \right)}} = \frac{{{{\log }_3}7 + {{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}{2^2} + {{\log }_3}3}} = \frac{{{{\log }_3}7 + 1}}{{2{{\log }_3}2 + 1}} = \frac{{b + 1}}{{2a + 1}}$