Giải mục 6 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Hoạt động 6

Cho hàm số $u = \sin x$ và hàm số $y = {u^2}$.

a) Tính $y$ theo $x$.

b) Tính $y{'_x}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $x$), $y{'_u}$ (đạo hàm của $y$ theo biến $u$) và $u{'_x}$ (đạo hàm của $u$ theo biến $x$) rồi so sánh $y{'_x}$ với $y{'_u}.u{'_x}$.

Phương pháp giải:

a) Thay $u = \sin x$ vào $y$.

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm: ${\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}};{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x$.

Lời giải chi tiết:

a) $y = {u^2} = {\left( {\sin x} \right)^2} = {\sin ^2}x$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}y{'_x} = {\left( {\sin x.\sin x} \right)^\prime } = {\left( {\sin x} \right)^\prime }.\sin x + \sin x.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x.\sin x + \sin x.\cos x = 2\sin x\cos x\\y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u\\u{'_x} = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\\ \Rightarrow y{'_u}.u{'_x} = 2u.\cos x = 2\sin x\cos x\end{array}$

Vậy $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}$.

Thực hành 7

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\left( {2{x^3} + 3} \right)^2}$;

b) $y = \cos 3x$;

c) $y = {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $u = 2{{\rm{x}}^3} + 3$ thì $y = {u^2}$. Ta có: $u{'_x} = {\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)^\prime } = 6{{\rm{x}}^2}$ và $y{'_u} = {\left( {{u^2}} \right)^\prime } = 2u$.

Suy ra $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = 2u.6{{\rm{x}}^2} = 2\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).6{{\rm{x}}^2} = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right).$

Vậy $y' = 12{{\rm{x}}^2}\left( {2{{\rm{x}}^3} + 3} \right)$.

b) Đặt $u = 3{\rm{x}}$ thì $y = \cos u$. Ta có: $u{'_x} = {\left( {3{\rm{x}}} \right)^\prime } = 3$ và $y{'_u} = {\left( {\cos u} \right)^\prime } =  - \sin u$.

Suy ra $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} =  - \sin u.3 =  - 3\sin 3{\rm{x}}$.

Vậy $y' =  - 3\sin 3{\rm{x}}$.

c) Đặt $u = {x^2} + 2$ thì $y = {\log _2}u$. Ta có: $u{'_x} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}$ và $y{'_u} = {\left( {{{\log }_2}u} \right)^\prime } = \frac{1}{{u\ln 2}}$.

Suy ra $y{'_x} = y{'_u}.u{'_x} = \frac{1}{{u\ln 2}}.2x = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.2x = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.$

Vậy $y' = \frac{2x}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\ln 2}}.$