Giải mục 5 trang 77, 78 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.
Hoạt động 5
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) có đồ thị như Hình 4.
a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải?
b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:
Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị \(f\left( x \right)\) khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái?
Phương pháp giải:
Để điền giá trị vào bảng, ta thay giá trị của \(x\) vào hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\).
Lời giải chi tiết:
a)
Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải.
b)
Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất bé khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái.
Thực hành 5
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right)\).
Phương pháp giải:
Bước 1: Đưa hàm số \(f\left( x \right)\) về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.
Lời giải chi tiết:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = 2.3 = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = - \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right)\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 3 - 0 = 3\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x - 1} \right) = + \infty \)
Vận dụng 2
Xét tình huống ở đầu bài học. Gọi \(x\) là hoành độ điểm \(H\). Tính diện tích \(S\left( x \right)\) của hình chữ nhật \(OHMK\) theo \(x\). Diện tích này thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to + \infty \).
Phương pháp giải:
− Để tính diện tích \(S\left( x \right)\), ta tìm độ dài \(OH\) và \(OK\) rồi áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.
− Để xác định xem diện tích \(S\left( x \right)\) thay đổi như thế nào khi \(x \to {0^ + }\) và khi \(x \to + \infty \), ta tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Giả sử điểm \(M\) có hoành độ là \(x\).
Độ dài \(OH\) là hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OH = x\).
Độ dài \(OK\) là tung độ của điểm \(M\). Vậy \(OK = \frac{1}{{{x^2}}}\).
\(S\left( x \right) = OH.OK = x.\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{x}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x \to {0^ + }\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x \to + \infty \).