Giải mục II trang 73, 74, 75 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều — Không quảng cáo

Luyện tập – vận dụng 1

Cho tam giác ABC có AB = 12; $\widehat B = {60^o}$; $\widehat C = {45^o}$. Tính diện tích của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC, bằng cách áp dụng định lí sin trong tam giác ABC.

Bước 2: Tính $\widehat A$. Suy ra diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2}bc.\sin A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$

$\Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6$

Lại có: $\widehat A = {180^o} - ({60^o} + {45^o}) = {75^o}$

$\Rightarrow$Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2$

Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.

Hoạt động 5

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).

a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:

$\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ ở đó $p = \frac{{a + b + c}}{2}$

b) Bằng cách sử dụng công thức $S = \frac{1}{2}bc\sin A$,hãy chứng tỏ rằng: $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.

Bước 2: Tính sin A theo cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$$\Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

Mà $\sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A}$.

$\Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}}$

$\Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}$

Đặt $M = \sqrt {{{(2bc)}^2} - {{({b^2} + {c^2} - {a^2})}^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2})(2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right].\left[ {{a^2} - {{(b - c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c - a)(b + c + a)(a - b + c)(a + b - c)} \end{array}$

Ta có: $a + b + c = 2p$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)\\a - b + c = 2p - 2b = 2(p - b)\\a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p - a).2p.2(p - b).2(p - c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p - a).p.(p - b).(p - c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \end{array}$

b) Ta có: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$

Mà $\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} .\end{array}$