Giải mục II trang 75, 76 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều — Không quảng cáo

Hoạt động 3

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$. Vẽ vectơ $\overrightarrow n$ ($\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0$) có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét

• Nếu $\overrightarrow n$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì $k\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \left( {k \ne 0} \right)$cũng là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

• Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$ thì vectơ $\overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right)$là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

Hoạt động 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n {\rm{ }} = \left( {a;{\rm{ }}b} \right)$. Xét điểm M(x ; y) nằm trên $\Delta$ (Hình 28).

a) Nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {{M_o}M}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa toạ độ của điểm M với toạ độ của điểm ${M_o}$ và toạ độ của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$.

Lời giải chi tiết:

a) Phương của hai vecto $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {{M_o}M}$ vuông góc với nhau.

b) Ta có: $\overrightarrow {{M_o}M}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$

Xét điểm $M\left( {x;y} \right) \in \Delta$. Vì $\overrightarrow {{M_o}M}  \bot \overrightarrow n$ nên: $\overrightarrow {{M_o}M} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_o} + b{y_o} = 0$

Luyện tập – vận dụng 2

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát là: $x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ .

a) Chỉ ra toạ độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Chỉ ra toạ độ của hai điểm thuộc $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

a) Tọa độ vecto pháp tuyến của $\Delta$ là: $\overrightarrow n (1; - 1)$

Tọa độ vecto chỉ phương của $\Delta$ là: $\overrightarrow u (1;1)$

b) Chọn $x = 0;x = 1$ ta lần được được 2 điểm A và B thuộc đường thẳng $\Delta$ là: $A\left( {0;1} \right),B\left( {1;2} \right)$

Hoạt động 5

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình tổng quát ax + bx + c = 0 (a hoặc b khác 0). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ với các trục toạ độ trong môi trường hợp sau:

a) b = 0 và $a \ne 0$

b) $b \ne 0$ và a = 0

c) $b \ne 0$ và $a \ne 0$

Lời giải chi tiết:

a) Nếu  b = 0 và $a \ne 0$ thì phương trình đường thẳng $\Delta$ trở thành $ax + c = 0$ . Khi đó đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với trục $Oy$ và cắt trục ${\rm{O}}x$ tại điểm $\left( { - \frac{c}{a};0} \right)$.

b) $b \ne 0$ và a = 0 thì phương trình đường thẳng $\Delta$ trở thành $by + c = 0$ . Khi đó đường thẳng $\Delta$ song song hoặc trùng với trục ${\rm{O}}x$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $\left( {0; - \frac{c}{b}} \right)$.

c) Nếu $b \ne 0$ và $a \ne 0$thì phương trình đường thẳng $\Delta$ có thể viết thành $y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$. Khi đó, đường thẳng $\Delta$ là đồ thị hàm số bậc nhất $y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$vời hệ số góc là $k =  - \frac{a}{b}$.