Lý thuyết về biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai( tiếp theo)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn Trục căn thức ở mẫu

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức A, B mà $AB\geq 0$ và $B\neq 0$, ta có:

$\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A\cdot B}}{\left | B \right |}.$

Ví dụ: Với $x\ne 0$ ta có: $\sqrt {\dfrac{{11}}{x}} = \dfrac{{\sqrt {11.x} }}{{\left| x \right|}}$

2. Trục căn thức ở mẫu

Với hai biểu thức A, B mà $B>0,$ ta có

$\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}.$

Với các biểu thức A, B, C mà $A\geq 0$ và $A\neq B^{2}$, ta có

$\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm B }=\dfrac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}.$

Với các biểu thức A, B, C mà $A\geq 0$, $B\geq 0$ và $A\neq B$, ta có:

$\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\dfrac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}.$

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$ với $x\ge 0$

Ta có:

$\begin{array}{l} \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{3\sqrt x - 6}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 4}}\\ = \dfrac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 4}} \end{array}$

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$

* Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ

$0 \le A < B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$.

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

+) Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}$

+) Với các biểu thức $A,B$ mà $B > 0$, ta có $\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}$

+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có

$\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện

+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản

+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.