Bài 19 trang 49 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Đố em biết vì sao khi $a > 0$ và phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ vô nghiệm thì$a{x^2} + bx + c > 0$ với mọi giá trị của $x$?

Lời giải chi tiết

Khi $a > 0$ và phương trình vô nghiệm thì $\Delta = b{^2} - 4ac<0$.

Do đó: $-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0$

Lại có:

$\begin{array}{l}a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \dfrac{b}{a}x} \right) + c\\ = a\left( {{x^2} + 2.\dfrac{b}{{2a}}.x + \dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} + c\\ = a{\left( {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}}\end{array}$

$=a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)}$

Vì $a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2} \ge 0$  với mọi $x \in R$, mọi $a>0$.

Lại có $-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} > 0$  (cmt)

Vì tổng của số không âm và số dương là một số dương do đó

$a\left ( x + \dfrac{b}{2a} \right )^{2}+ {\left(\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}\right)} >0$  với mọi $x$.

Hay $a{x^2} + bx + c >0$ với mọi $x$.