Bài 21 trang 19 SGK Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
Đề bài
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\);
b) \(\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hệ a) ta nhân phương trình thứ nhất với \(-\sqrt 2\), rồi cộng từng vế hai phương trình.
Hệ b) ta nhân phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2\), rồi cộng từng vế hai phương trình.
Lời giải chi tiết
a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(-\sqrt 2\), rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y+2x+ \sqrt{2}.y = -\sqrt{2}-2& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-\sqrt{2} - 2}{4\sqrt 2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x = -y\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =- \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}.\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{4}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{8}& & \\ y= \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: (\(\dfrac{\sqrt 2 -6}{8}; \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}\))
b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt{2}\), rồi cộng từng vế hai phương trình.
Ta có \(\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.\)
Suy ra
\(\left\{\begin{matrix} 5\sqrt 6 x + y \sqrt 2 = 4 & & \\ x \sqrt 6 - y \sqrt 2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \sqrt 6 x=6 & & \\ x \sqrt 6 -y \sqrt 2 =2 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{1}{\sqrt 6} & &\\ y \sqrt 2 = x \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = \dfrac{1}{\sqrt 6}. \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y\sqrt 2 =1-2=-1& & \end{matrix} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y = \dfrac{-1}{\sqrt 2}=- \dfrac{\sqrt 2}{2}& & \end{matrix} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \( {\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}; -\dfrac{\sqrt 2}{2} \right)}\)