Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Trên đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, lấy điểm $M$ (khác $A$ và $B$). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại $A$. Đường thẳng $BM$ cắt tiếp tuyến đó tại $C$. Chứng minh rằng ta luôn có: $M{A^2} = MB.MC$

Lời giải chi tiết

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM \bot BC$

Lại có $AC$ là tiếp tuyến tại A nên $\widehat {BAC} = 90^\circ$

Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$M{A^2} = MB.MC$ (đpcm)

Cách khác:

+ Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra $AM \bot BC \Rightarrow \widehat {CMA} = 90^\circ$.

Lại có $AC$ là tiếp tuyến nên $\widehat {BAC} = 90^\circ .$

+ Ta có $\widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 90^\circ$ (vì tam giác $MAB$ vuông tại $M$ ) và $\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = 90^\circ$ (do $\widehat {BAC} = 90^\circ$) nên $\widehat {MBA} = \widehat {MAC}$

+ Xét $\Delta MAB$ và $\Delta MCA$ có $\widehat M$ chung và $\widehat {MBA} = \widehat {MAC}$ (cmt) nên $\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}$ đồng dạng với $\Delta MCA\left( {g - g} \right)$ suy ra $\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC$ (đpcm)