Bài 22 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
Trên đường tròn (O) đường kính AB
Đề bài
Trên đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\), lấy điểm \(M\) (khác \(A\) và \(B\)). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại \(A\). Đường thẳng \(BM\) cắt tiếp tuyến đó tại \(C\). Chứng minh rằng ta luôn có: \(M{A^2} = MB.MC\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Hoặc ta chứng minh \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\) từ đó suy ra tỉ lệ cạnh để có đẳng thức cần chứng minh.
Lời giải chi tiết
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC\)
Lại có \(AC\) là tiếp tuyến tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)
Xét tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(M{A^2} = MB.MC\) (đpcm)
Cách khác:
+ Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(AM \bot BC \Rightarrow \widehat {CMA} = 90^\circ \).
Lại có \(AC\) là tiếp tuyến nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ .\)
+ Ta có \(\widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (vì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) ) và \(\widehat {MAB} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\)
+ Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MCA\) có \(\widehat M\) chung và \(\widehat {MBA} = \widehat {MAC}\) (cmt) nên \(\Delta {\rm M}{\rm A}{\rm B}\) đồng dạng với \(\Delta MCA\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MB.MC\) (đpcm)