Bài 23 trang 19 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.$

Lời giải chi tiết

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2),  ta được:

$(1+\sqrt{2})x+(1 - \sqrt{2})y - (1+\sqrt2)x-(1 + \sqrt{2})y = 5-3$

$(1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 5-3$

$⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2$

$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}y = 2$

$\Leftrightarrow  y = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow  y =\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$   $(3)$

Thay $(3)$ vào $(1)$ ta được:

$(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\dfrac{-\sqrt{2}}{2} = 5$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt 2 . \sqrt 2}{2} = 5$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + 1 = 5$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x =5- \dfrac{-\sqrt{2}}{2} - 1$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x  = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{(8 + \sqrt{2}).(1-\sqrt 2)}{2(1 + \sqrt{2})(1- \sqrt 2)}$

$\Leftrightarrow x =  \dfrac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{2(1 - 2)}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{6 - 7\sqrt{2}}{-2}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${\left(\dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}; \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right)}$