Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 tập 2
Cho đường tròn (O)
Đề bài
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B.Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại C và D.
Chứng minh MA.MB=MC.MD
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra hệ thức cần chứng minh
Lời giải chi tiết
Xét hai trường hợp:
a) M ở bên trong đường tròn (hình a)
Xét hai tam giác MAD và MCB có:
^AMD = ^CMB ( đối đỉnh)
^ADM = ^CBM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Do đó ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g), suy ra:
\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB} ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Do đó MA. MB = MC. MD
b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)
Tương tự, x ét hai tam giác MAD và MCB có:
\widehat{M} chung
\widehat{MDA} = \widehat{MBC} (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
Nên ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g-g)
Suy ra: \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB} ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Do đó: MA. MB = MC. MD