Bài 26 trang 115 SGK Toán 9 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$, điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AB,\ AC$ với đường tròn ($B,\ C$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng $OA$ vuông góc với $BC$.

b) Vẽ đường kính $CD$. Chứng minh rằng $BD$ song song với $AO$.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$; biết $OB=2cm,\ OA=4cm$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $AB,\ AC$ là các tiếp tuyến cắt nhau tại A nên $AB=AC$ và $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\Delta{ABC}$ cân tại $A$.

Vì $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ nên $AO$ là tia phân giác của góc $A$ nên $AO$ đồng thời là đường cao ứng với cạnh $BC$.

Vậy $OA\perp BC$

b) Điểm $B$ nằm trên đường tròn đường kính $CD$ nên $\widehat{CBD}=90^{\circ}$ (bài 3 trang 100 SGK toán 9 tập 1) hay $BC \bot BD$.

Lại có $AO \bot BC$

Suy ra $BD // AO$ (vì cùng vuông góc với $BC)$.

c) Nối $OB$ thì $OB \perp AB.$

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$, ta có:

$\sin \widehat {{A_1}} = \dfrac{OB}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=30^{\circ}$$\Rightarrow \widehat{BAC}=2.\widehat {A_1}=60^{\circ}.$

Tam giác $ABC$ cân, có một góc $60^{\circ}$ nên là tam giác đều.

Suy ra $AB=BC=CA$

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $B$, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$AO^{2}=AB^{2}+OB^{2} \Rightarrow AB^2=AO^2-OB^2$

$\Leftrightarrow AB^2=4^{2}-2^{2}=16-4=12 \Rightarrow AB=2\sqrt{3.}$

Vậy $AB=AC=BC=2\sqrt{3}cm$.

Nhận xét. Qua câu c) ta thấy: Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng $60^{\circ}$.

Cách khác câu b:

Gọi H là giao điểm của OA và BC.

Vì $OA \bot BC$ tại H mà OA là 1 phần đường kính và BC là dây của đường tròn (O) nên H là trung điểm của BC (định lý)

Lại có O là trung điểm của đường kính CD nên OH là đường trung bình của tam giác BCD

Hay OH//BD. Do đó, OA//BD.