Bài 3 trang 134 SGK Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $C$ có đường trung tuyến $BN$ vuông góc với đường trung tuyến $CM,$ cạnh $BC = a.$ Tính độ dài đường trung tuyến $BN.$

Lời giải chi tiết

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC,$ ta có: $\displaystyle BG = {2 \over 3}BN.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $CNB$ có đường cao $CG$ ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = BN.BG = BN.{2 \over 3}BN = {2 \over 3}B{N^2} \cr & \Rightarrow B{N^2} = {3 \over 2}B{C^2} = {{3{a^2}} \over 2} \cr & \Rightarrow BN = \sqrt {{{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}} = {{a\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{a\sqrt 6 } \over 2}. \cr}$

Vậy $\displaystyle BN = {{a\sqrt 6 } \over 2}.$