Bài 8 trang 132 SGK Toán 9 tập 2
Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Đề bài
Chứng minh rằng khi \(k\) thay đổi, các đường thẳng \((k + 1)x – 2y = 1\) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi \(M(x_0;\, y_0)\) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số.
+) Khi đó phương trình đường thẳng đã cho thỏa mãn với mọi \(k \in R.\)
+) Khi đó ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng: \(a.k = b\) với mọi \(k \in R\); a, b không đổi \(\Leftrightarrow a = 0; b=0\)
+) Từ đó ta tìm được \(x_0\) và \(y_0\) hay tọa độ điểm \(M\) cố định.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M(x_0;\, y_0)\) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số. Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l} \left( {k + 1} \right){x_0} - 2{y_0} = 1\;\;\forall \;k \in R\\ \Leftrightarrow k{x_0} + {x_0} - 2{y_0} = 1\;\forall \;k \in R\\ \Leftrightarrow k{x_0} = 1 - {x_0} + 2{y_0}\;\;\;\forall \;k \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ 1 - {x_0} + 2{y_0} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ {y_0} = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow M\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right). \end{array}\)
Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm \(M\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)\) với mọi \(k \in R.\)