Câu 1 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ ,\widehat {BOC} = 90^\circ$

a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông và OA ⊥ BC

b. Tìm đường vuông góc chung IJ của OA và BC ; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.

c. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

a. Vì $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = 60^\circ$

OA = OB = OC = a

Nên AB = AC = a

Suy ra ΔABC = ΔOBC

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A

Gọi J là trung điểm của BC thì OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC nên OA ⊥ BC.

Cách khác:

b. Gọi I là trung điểm của OA, do OJ = AJ nên JI ⊥ OA, mà JI ⊥ BC, vậy IJ là đường vuông góc chung của OA và BC.

$I{J^2} = O{J^2} - O{I^2} = {\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{a \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4}.$

Suy ra : d(OA ; BC) = ${a \over 2}$

c. Từ các kết quả trên ta có : OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ = ${1 \over 2}OA$

Vậy góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) bằng góc $\widehat {OJA}$ và $\widehat {OJA} = 90^\circ ,$ do đó mp(OBC) ⊥ mp(ABC).