Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC - TOÁN 11 NÂNG CAO


Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Đề bài

Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

a. Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP. Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lượt thành một trong ba tam giác còn lại.

b. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ?

c. Xét tam giác có ba đỉnh là trực tâm của ba tam giác APN, PBM và NCM. Chứng tỏ rằng tam giác đó bằng tam giác APN. Chứng minh điều đó cũng đúng nếu thay trực tâm bằng trọng tâm, hoặc tâm đường tròn ngoại tiếp hoặc tâm đường tròn nội tiếp.

Lời giải chi tiết

a. Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến tam giác APN thành tam giác PBM.

Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AN} }}\) biến tam giác APN thành tam giác NMC. Phép đối xứng tâm Đ­ J , với J là trung điểm của PN, biến tam giác APN thành tam giác MNP.

b. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GM}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GN}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GP}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {GC} .\)

Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số \(k =  - {1 \over 2}\) biến tam giác ABC thành tam giác MNP.

c. Gọi H 1 , H 2 , H 3 lần lượt là trực tâm của tam giác APN, PBM, NMC.

Phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow {AP} }}\) biến APN thành tam giác PBM nên biến H 1 thành H 2 , tức là \(\overrightarrow {{H_1}{H_2}}  = \overrightarrow {AP} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {P{H_2}} .\) Tương tự ta có \(\overrightarrow {{H_1}{H_3}}  = \overrightarrow {AN} \,hay\,\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {N{H_3}} .\)

Vậy \(\overrightarrow {A{H_1}}  = \overrightarrow {P{H_2}}  = \overrightarrow {N{H_3}} .\) Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {A{H_1}} \) biến tam giác APN thành tam giác H 1 H 2 H 3 .

Đối với các trường hợp khác (trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp), chứng minh hoàn toàn tương tự.


Cùng chủ đề:

Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 1 trang 120 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 122 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 1 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 1 trang 192 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 2 trang 9 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 2 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao