Câu 22 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu

$AC' = BD' = B'D = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Thì hình hộp đó có phải là hình hộp chữ nhật không ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết

Áp dụng tính chất : “Tổng bình phương hai đường chéo hình bình hành bằng tổng bình phương bốn cạnh của nó” (BT 38, 4 chương II).

Ta có:

$\eqalign{  & AC{'^2} + A'{C^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'{C^2}} \right)  \cr  & B'{D^2} + BD{'^2} = 2\left( {BB{'^2} + B{D^2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow AC{'^2} + A'{C^2} + BD{'^2} + B'{D^2} \cr&\;\;\;= 2\left( {{c^2} + {c^2} + A{C^2} + B{D^2}} \right) = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow A'C = AC' = B'D = BD' \cr}$

⇒ AA’C’C và BB’D’D là các hình chữ nhật .

Từ đó suy ra AA’ ⊥ AC và AA’ ⊥ BD. Do đó AA’ ⊥ (ABCD), tức hình hộp ABCD.A’B’C’D’là hình hộp chữ nhật.