Câu 22 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho hàm số $f\left( x \right) = \cos {1 \over x}$ và hai dãy số $\left( {x{'_n}} \right),\left( {x{"_n}} \right)$ với

$x_n' = {1 \over {2n\pi }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x''_n= {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}}$

LG a

Tìm giới hạn của các dãy số  $\left( {x_n'} \right),\left( {x_n"} \right),\left( {f\left( {x_n'} \right)} \right)$ và $\left( {f\left( {x_n"} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \lim x_n' = \lim {1 \over {2n\pi }} = 0 \cr & \lim x''_n = \lim {1 \over {\left( {2n + 1} \right){\pi \over 2}}} = 0 \cr & \lim f\left( {x{'_n}} \right) = \lim \cos 2n\pi = 1 \cr & \lim f\left( {x{"_n}} \right) = \lim \cos \left( {2n + 1} \right){\pi \over 2} = 0 \cr}$

LG b

Tồn tại hay không  $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}?$

Lời giải chi tiết:

Do hai dãy $(x'_n)$ và $(x''_n)$ đều tiến đến $0$ nhưng $\lim f\left( {x{'_n}} \right) \ne \lim f\left( {x''{_n}} \right)$ nên theo định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm, không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos {1 \over x}$.