Câu 28 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm các giới hạn sau :

LG a

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }}$

Phương pháp giải:

Phân tích từ và mẫu thành các nhân tử, rút gọn khử dạng vô định và tính giới hạn.

Giải chi tiết:

Với $\displaystyle x > 0$, ta có :  $\displaystyle {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} = {{\sqrt x \left( \sqrt x + 2  \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}}$

Do đó: $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}}$ $\displaystyle = {2 \over { - 1}} = - 2$

LG b

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích từ và mẫu thành các nhân tử, rút gọn khử dạng vô định và tính giới hạn.

Giải chi tiết:

Với $\displaystyle x < 2$, ta có: $\displaystyle {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }} = {{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)} \over {\sqrt {2 - x} }}$ $\displaystyle = \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x}$

Do đó $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }}$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} = 0$

LG c

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích từ và mẫu thành các nhân tử, rút gọn khử dạng vô định và tính giới hạn.

Giải chi tiết:

Với mọi $\displaystyle x > -1$

$\displaystyle {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}\sqrt {x + 1} }}$ $\displaystyle = {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}}$

Do đó  $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}$ $\displaystyle  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = 0$

LG d

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }}$

Phương pháp giải:

Phân tích từ và mẫu thành các nhân tử, rút gọn khử dạng vô định và tính giới hạn.

Giải chi tiết:

Với $\displaystyle -3 < x < 3$

$\displaystyle {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} = {{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} } \over {\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} }}$ $\displaystyle  = {{\sqrt {4 - x} } \over {\sqrt {3 + x} }}$

Do đó  $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 6 } \over 6}$