Câu 28 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho tam giác ABC và mặt phẳng (P). Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90˚); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng

${S_{A'B'C'}} = {S_{ABC}}.\cos \varphi$

Hướng dẫn. Xét hai trường hợp :

a) Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp(P).

b) Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).

LG a

Tam giác ABC có một cạnh song song hoặc nằm trong mp(P)

Lời giải chi tiết:

Xét trường hợp tam giác ABC có một cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp(P). Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P).

Kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H ϵ BC) thì AH là đường cao của tam giác ABC và $\widehat {AHA'} = \varphi ,A'H = AH\cos \varphi .$

Ta có: ${S_{A'BC}} = {1 \over 2}BC.A'H$ $= {1 \over 2}BC.AH\cos \varphi  = {S_{ABC.cos\varphi }}$

Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp(P). Xét mp(Q) chứa BC và song song với mp(P), gọi giao điểm của AA’ với mp(Q) là A ₁ . Khi đó ta có ΔA ₁ BC = ΔA’B’C’ ; góc giữa mp(ABC) và mp(Q) bằng φ.

Do đó : ${S_{A'B'C'}} = {S_{{A_1}BC}} = {S_{ABC }.\cos \varphi}$

LG b

Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).

Lời giải chi tiết:

Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).

Ta có thể giả sử mp(P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng một phía đối với mp(P).

Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC và mp(P); B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D.

Khi đó theo trường hợp a ta có :

$\eqalign{  & {S_{ADC'}} = {S_{ADC.\cos \varphi }}  \cr  & {S_{ADB'}} = {S_{ABD.\cos \varphi }} \cr}$

Trừ từng vế hai đẳng thức trên, ta có :

${S_{AB'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}$

Vậy mọi trường hợp ta đều có :

${S_{A'B'C'}} = {S_{ABC.\cos \varphi }}$