Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải các phương trình sau:

LG a

$3\cos x + 4\sin x = -5$

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế phương trình cho $\sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$ ta được :

$\eqalign{ & {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = - 1 \cr&\Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = - 1 \cr & \left( {\text{ trong đó }\,\cos \alpha = {3 \over 5}\text { và }\,\sin \alpha = {4 \over 5}} \right) \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = - 1 \cr&\Leftrightarrow x - \alpha = \pi + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in Z \cr}$

LG b

$2\sin2x – 2\cos2x =  \sqrt 2$

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế phương trình cho $\sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$ ta được :

$\eqalign{& {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow \sin 2x\cos {\pi \over 4} - \cos 2x\sin {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {2x - {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x - {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x - {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{5\pi } \over {24}} + k\pi } \cr {x = {{13\pi } \over {24}} + k\pi } \cr} } \right.,k \in \mathbb Z \cr}$

LG c

$5\sin2x – 6\cos^2 x = 13$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & 5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13\cr& \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\left( {1 + \cos 2x} \right) = 13 \cr &  \Leftrightarrow 5\sin 2x - 3\cos 2x = 16 \cr}$

Chia cả hai vế cho $\sqrt {{5^2} + {3^2}} = \sqrt {34}$ ta được :

${5 \over {\sqrt {34} }}\sin 2x - {3 \over {\sqrt {34} }}\cos 2x = {{16} \over {\sqrt {34} }}$

Do ${\left( {{5 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} + {\left( {{3 \over {\sqrt {34} }}} \right)^2} = 1$ nên ta chọn được số $α$ sao cho :

$\cos \alpha = {5 \over {\sqrt {34} }}\,\text{ và }\,\sin \alpha = {3 \over {\sqrt {34} }}$

Ta có: $5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13$

$\Leftrightarrow \sin 2x\cos \alpha  - \cos 2x\sin \alpha  = \frac{{16}}{{\sqrt {34} }}$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \alpha } \right) = {{16} \over {\sqrt {34} }} > 1$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.