Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 6. Phép vị tự


Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hai đường tròn

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường tròn (O") thay đổi, luôn luôn tiếp xúc ngoài với (O) và (O') lần lượt tại B và C . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Kéo dài BC cắt (O’) tại B’

Vì C là tâm vị tự trong của (O’) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O'B'} \) và \(\overrightarrow {O''B} \) ngược hướng

Vì B là tâm vị tự trong của (O) và (O”) nên hai vecto \(\overrightarrow {O''B} \) và \(\overrightarrow {OB} \) ngược hướng

Vậy hai vecto \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {O'B'} \) cùng hướng

(cùng ngược hướng với \(\overrightarrow {O''B} \))

Từ đó suy ra đường thẳng BB’, cũng chính là đường thẳng BC, luôn đi qua điểm cố định là tâm vị tự ngoài I của (O) và (O’)

Cách 2:

Kéo dài BC cắt (O') tại B', cắt OO' tại I. Ta chứng minh I là điểm cố định.

Ta có: \( \angle OBI =\angle O''BC \) (hai góc đối đỉnh)

\( \angle O''BC = \angle O''CB \) ( tam giác O''BC cân tại O'')

\( \angle O''CB =\angle O'CB' \) (hai góc đối đỉnh)

\( \angle O'CB' = \angle O'B'C = \angle O'B'I \)

\(\Rightarrow \angle OBI= \angle O'B'I\). Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị.

\(\Rightarrow OB // O'B' \Rightarrow {{IO} \over{IO'}}= {OB \over O'B'}\) cố định

Do đó I là tâm vị tự biến O thành O' tỉ số \({OB \over O'B'}\)

Vậy BC luôn đi qua điểm I cố định


Cùng chủ đề:

Câu 29 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 29 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 29 trang 120 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 29 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 29 trang 211 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 30 trang 29 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 30 trang 67 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 30 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 30 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 30 trang 120 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao