Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng :
Chứng minh rằng :
LG a
Các hàm số f(x)=x3−x+3và g(x)=x3−1x2+1 liên tục tại mọi điểm x∈R.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí:
Hàm đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Hàm số f(x)=x3−x+3 xác định trên R. Với mọi x0∈R, ta có:
lim = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)
Vậy f liên tục tại điểm x 0 . Do đó hàm số f liên tục trên \mathbb R.
(Có thể khẳng định ngay: Hàm số f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên nó liên tục trên R\).
Hàm số g là hàm phân thức xác định trên R (do x^2+1\ne 0, \forall x) nên g liên tục trên tập xác định D=\mathbb R.
LG b
Hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.
liên tục tại điểm x = 2
Phương pháp giải:
Hàm số y=f(x) liên tục tại x_0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
Lời giải chi tiết:
Với mọi x ≠ 2, ta có:
f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1
Do đó \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x = 2
LG c
Hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.
gián đoạn tại điểm x = 1
Lời giải chi tiết:
Với mọi x ≠ 1, ta có:
f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1
Do đó \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm x = 1