Câu 47 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ . Tìm điểm I trên đường chéo B ₁ D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ // BC ₁ . Tính tỉ số \({{ID} \over {I{B_1}}}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử, ta tìm được I ∈ B ₁ D, J ∈ AC sao cho  IJ // BC ₁

Xét phép chiếu song song theo phương BC ₁ lên mp(ABCD). Khi đó hình chiếu của các điểm I , D, B ₁ lần lượt là J, D , B ₁ ’

Do D, I ,B ₁ thẳng hàng nên D, J, B ₁ ’ thẳng hàng

Vậy J chính là giao điểm của hai đường thẳng B’ ₁ D và AC. Từ đó ta có thể tìm I, J như sau:

- Dựng B’ ₁ là hình chiếu B ₁ qua phép chiếu song song ở trên (BC ₁ B ₁ B’ ₁ là hình bình hành)

- Dựng J là giao điểm của B’ ₁ D với AC

- Trong mp(B ₁ B’ ₁ D) kẻ JI song song với B ₁ B’ ₁ cắt B ₁ D tại I

Rõ ràng I và J thỏa mãn điều kiện của bài toán

Dễ thấy B’ ₁ thuộc đường thẳng BC và \(AD = {1 \over 2}B{'_1}C\)

Từ đó suy ra : \({{ID} \over {I{B_1}}} = {{ID} \over {JB{'_1}}} = {{AD} \over {B{'_1}C}} = {1 \over 2}\)

Vậy ta có: \({{ID} \over {I{B_1}}} = {1 \over 2}\)