Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng :
Chứng minh rằng :
LG a
Hàm số f(x)=x4−x2+2 liên tục trên R
Lời giải chi tiết:
Hàm số f(x)=x4−x2+2 xác định trên R.
Với mọi x0∈R ta có:
lim = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)
Vậy f liên tục tại x 0 nên f liên tục trên \mathbb R.
LG b
Hàm số f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;
Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)
Với mọi x 0 ϵ (-1 ; 1), ta có : \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x 0 . Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1)
LG c
Hàm số f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} liên tục trên đoạn [-2 ; 2];
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: 8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2
Hàm số f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} xác định trên đoạn [-2 ; 2]
Với mọi {x_0} \in \left( { - 2;2} \right) , ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2).
Ngoài ra, ta có :
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right) nên hàm số liên tục phải tại x=-2.
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right) nên hàm số liên tục trái tại x=2.
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]
LG d
Hàm số f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} liên tục trên nửa khoảng \left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)
Lời giải chi tiết:
Hàm số f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} xác định trên nửa khoảng \left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)
Với {x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right) ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)
Nên hàm số liên tục trên khoảng \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)
Mặt khác ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)
Nên hàm số liên tục phải tại x=1/2.
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)