Processing math: 66%

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 5. Đạo hàm cấp cao


Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. Cho hàm số

LG a

Cho hàm số f(x)=tanx. Tính f(n)(x) với n = 1, 2, 3.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm (tanx)=1+tan2x

Lời giải chi tiết:

f’(x) = 1 + tan 2 x

f’’(x) = 2tanx(1 + tan 2 x) = 2tanx + 2tan 3 x

f (3) (x) = 2(1 + tan 2 x) + 2.3tan 2 x(1 + tan 2 x)

= 2+ 2tan 2 x + 6tan 2 x+ 6tan 4 x

= 2+ 8tan 2 x+ 6tan 4 x

LG b

Chứng minh rằng nếu f(x)=sin2x thì f(4n)(x)=24n1cos2x

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Lời giải chi tiết:

f(4n)(x)=24n1cos2x  (1)

Với n = 1 ta có:

\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\ f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\ {f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\ {f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x =  - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x \end{array}

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  {f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x

Với n = k + 1 ta có :

\begin{array}{l} {f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\ {f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\ {f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\ {f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\=  - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x \end{array}

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.


Cùng chủ đề:

Câu 47 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 47 trang 75 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 47 trang 91 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 47 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 48 trang 91 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 48 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 48 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 48 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao