Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

LG a

Chứng minh rằng  $\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) \cr & = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr & = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr & = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 4} \cr & = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr}$

LG b

Giải các phương trình $2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3$ bằng cách biến đổi vế trái về dạng $C\sin(x + α)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{& 2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos x = - \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 4} = - {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr {x - {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$

LG c

Giải phương trình $2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3$ bằng cách bình phương hai vế.

Lời giải chi tiết:

Chú ý rằng $1 - \sqrt 3 < 0$, ta đặt điều kiện $\sin x – \cos x < 0$ rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :

$\eqalign{& 4\left( {1 - \sin 2x} \right) = 4 - 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr}$

Thử vào điều kiện $\sin x – \cos x < 0$, ta thấy :

* Họ nghiệm $x = {\pi \over 6} + k\pi$ thỏa mãn điều kiện $\sin x – \cos x < 0$ khi và chỉ khi $k$ chẵn, tức là $x = {\pi \over 6} + 2m\pi$ với $m \in\mathbb Z$.

* Họ nghiệm $x = {\pi \over 3} + k\pi$ thỏa mãn điều kiện $\sin x  – \cos x < 0$ khi và chỉ khi $k$ lẻ, tức là $x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi$ với $m \in\mathbb Z$.

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.