Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy hình vuông H1, H2, …, Hn,…
Cho dãy hình vuông H 1 , H 2 , …, H n ,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u n , p n và S n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H n .
LG a
Giả sử dãy số (u n ) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p n ) và (S n ) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết ta có :
\({p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2\) với mọi \(n \in N^*\)
Gọi d là công sai của cấp số cộng (u n ) , d ≠ 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({p_{n + 1}} - {p_n} = 4{u_{n + 1}} - 4{u_n}\)
\(= 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d\) (không đổi)
Vậy (p n ) là cấp số cộng.
\({S_{n + 1}} - {S_n} = u_{n + 1}^2 - u_n^2\)
\(= \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right) \)
\(= d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)\) không là hằng số (do d ≠ 0)
Vậy (S n ) không là cấp số cộng.
LG b
Giả sử dãy số (u n ) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p n ) và (S n ) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết:
Gọi q là công bội của cấp số nhân (u n ), q > 0. Khi đó với mọi \(n \in N^*\), ta có :
\({{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q\) (không đổi)
\({{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}} = {\left( {\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}} \right)^2}= {q^2}\) (không đổi)
Từ đó suy ra các dãy số (p n ) và (S n ) là cấp số nhân.