Câu 49 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy hình vuông H ₁ , H ₂ , …, H _n ,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u _n , p _n và S _n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H _n .

LG a

Giả sử dãy số (u _n ) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p _n ) và (S _n ) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có :

${p_n} = 4{u_n}\text{ và }{S_n} = u_n^2$ với mọi $n \in N^*$

Gọi d là công sai của cấp số cộng (u _n ) , d ≠ 0. Khi đó với mọi $n \in N^*$, ta có :

${p_{n + 1}} - {p_n}  = 4{u_{n + 1}} - 4{u_n}$

$= 4\left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 4d$ (không đổi)

Vậy (p _n ) là cấp số cộng.

${S_{n + 1}} - {S_n}  = u_{n + 1}^2 - u_n^2$

$= \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)$

$= d\left( {{u_{n + 1}} + {u_n}} \right)$ không là hằng số (do d ≠ 0)

Vậy (S _n ) không là cấp số cộng.

LG b

Giả sử dãy số (u _n ) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p _n ) và (S _n ) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u _n ), q > 0. Khi đó với mọi $n \in N^*$, ta có :

${{{p_{n + 1}}} \over {{p_n}}} = {{4{u_{n + 1}}} \over {4{u_n}}} = q$ (không đổi)

${{{S_{n + 1}}} \over {{S_n}}} = {{u_{n + 1}^2} \over {u_n^2}}  = {\left( {\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}} \right)^2}= {q^2}$ (không đổi)

Từ đó suy ra các dãy số (p _n ) và (S _n ) là cấp số nhân.