Câu 49 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình :

${x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0$

Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π).

Lời giải chi tiết

Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1$ liên tục trên đoạn$\left[ {0;\pi } \right]$

Ta có:

$\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\ f\left( \pi \right) = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\ = {\pi ^2}.\left( { - 1} \right) + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0 \end{array}$

Vì $f(0).f(1) < 0$ nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực $c \in (0 ; π)$ sao cho $f(c) = 0$.

Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm (số c) trong khoảng $(0;\pi)$.