Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số (un) xác định bởi :
Đề bài
Cho dãy số (u n ) xác định bởi :
\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (u n ) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính toán một vài số hạng đầu và dự đoán dãy số đã cho là dãy không đổi.
Chứng minh bằng quy nạp dự đoán và suy ra dãy không đổi vừa là CSC vừa là CSN.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l} {u_1} = 3\\ {u_2} = \sqrt {{u_1} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ {u_3} = \sqrt {{u_2} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\\ ... \end{array}\)
Dự đoán \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n.
Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:
+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\)
+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)
Thật vậy ta có \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)
Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (u n ) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).