Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

LG a

Chứng minh rằng ${\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)'} =  - {n \over {{x^{n + 1}}}},$ trong đó n ϵ N*

Giải chi tiết:

Ta có: $\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)' =  - {{\left( {{x^n}} \right)'} \over {{x^{2n}}}} = {{ - n{x^{n - 1}}} \over {{x^{2n}}}} =  - {n \over {{x^{n + 1}}}}$

LG b

Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt ${x^{ - n}} = {1 \over {{x^n}}}.$ Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$ và nêu nhận xét.

Giải chi tiết:

Ta có: $\left( {{x^{ - n}}} \right)' =  - n{x^{ - n - 1}}$ (Theo a)

Nhận xét : Công thức $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$ đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên $\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$)