Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 8. Hàm số liên tục


Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

Chứng minh rằng :

LG a

Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.\)

Gián đoạn tại điểm x = 0

Phương pháp giải:

Tính các giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại x=0 suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr} \)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số f gián đoạn tại \(x = 0\)

LG b

Mỗi hàm số

\(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) \(\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.\)

liên tục trên tập xác định của nó.

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của mỗi hàm số trên các khoảng và tại điểm quan trọng.

Chú ý: Hàm phân thức liên tục trên TXĐ.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x_0\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số  \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

Với x 0 > 3 ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} \) \(= \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right),\) ngoài ra :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} \) \(= 0 = g\left( 3 \right)\)

Vậy g liên tục trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

*Tập xác định của hàm số

\(h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.\)

Rõ ràng h liên tục trên \((-∞; 1)\) và trên \((1 ; +∞)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x 0 = 1 ta có :

\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr & \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right) \cr} \)

Mà h(1)=-1 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)=h(1)\) hay h(x) liên tục tại x=1.

Vậy h liên tục trên \(\mathbb R\).


Cùng chủ đề:

Câu 49 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 50 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 51 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 51 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao