Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Chứng minh rằng :

LG a

Hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.$

Gián đoạn tại điểm x = 0

Phương pháp giải:

Tính các giới hạn trái, giới hạn phải của hàm số tại x=0 suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số f gián đoạn tại $x = 0$

LG b

Mỗi hàm số

$g\left( x \right) = \sqrt {x - 3}$ $\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.$

liên tục trên tập xác định của nó.

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của mỗi hàm số trên các khoảng và tại điểm quan trọng.

Chú ý: Hàm phân thức liên tục trên TXĐ.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số  $g\left( x \right) = \sqrt {x - 3}$ là $\left[ {3; + \infty } \right)$

Với x ₀ > 3 ta có  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3}$ $= \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)$

Nên g liên tục trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right),$ ngoài ra :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3}$ $= 0 = g\left( 3 \right)$

Vậy g liên tục trên $\left[ {3; + \infty } \right)$

*Tập xác định của hàm số

$h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.$

Rõ ràng h liên tục trên $(-∞; 1)$ và trên $(1 ; +∞)$ (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x ₀ = 1 ta có :

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr & \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right) \cr}$

Mà h(1)=-1 nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)=h(1)$ hay h(x) liên tục tại x=1.

Vậy h liên tục trên $\mathbb R$.