Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho phương trình  ${{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.$

LG a

Chứng minh rằng $x = {\pi \over 2} + k\pi$ nghiệm đúng phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}$

(nghĩa là bằng 1 nếu k chẵn, bằng -1 nếu k lẻ)

Thay $x = {\pi \over 2} + k\pi$ vào phương trình ta được :

$\begin{array}{l} \frac{{{{\sin }^3}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) + {{\cos }^3}\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)}}{{2\cos \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)}} = \cos \left[ {2\left( {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}} + 0}}{{2.0 - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \left( {\pi + k2\pi } \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}}}}{{ - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \\ \Leftrightarrow - {\left( { - 1} \right)^{2k}} = - 1\\ \Leftrightarrow - 1 = - 1 \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi$ là nghiệm phương trình

LG b

Giải phương trình bằng cách đặt $\tan x = t$ (khi $x \ne {\pi \over 2} + k\pi$ )

Lời giải chi tiết:

* $x = {\pi \over 2} + k\pi$ là nghiệm phương trình.

* Với $x \ne {\pi \over 2} + k\pi$ chia tử và mẫu của vế trái cho ${\cos ^3}x$ ta được :

${{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}$

Đặt $t = \tan x$ ta được :

$\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :$x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = - {\pi \over 4} + k\pi ,$ $x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$