Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 8 - Bài 4 - Chương 3 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Từ điểm P bên ngoài đường tròn (O, kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến (O). Đường thẳng song song với PA kẻ từ B cắt (O) tại C, PC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Đường BE cắt PA tại M.

a) Chứng minh: $PM^2= BM.ME$

b) Chứng minh rằng M là trung điểm của PA.

Lời giải chi tiết

a) PA // BC $\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{P_1}}$ ( so le trong)

$\widehat {{C_1}} = \widehat {MBP}$ ( góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung BE)

Do đó $∆PME$ và $∆BMP$ đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{{PM}}{{BM}} = \dfrac{{ME} }{ {PM}}$

$\Rightarrow PM^2= BM.ME$            (1)

b) Tương tự ta có hai tam giác AME và BMA đồng dạng (g.g) vì có :

$\widehat {MAE} = \widehat {{B_1}}$ và $\widehat {AMB}$ chung

$\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BM}} =\dfrac {{ME}}{{AM}}$

$\Rightarrow  AM^2 = BM.ME$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P{M^2} = A{M^2}$

$\Rightarrow  PM = AM$ hay M là trung điểm của PA.