Giải bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ:2x−y−1=0
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ:2x−y−1=0 và hai điểm A(−1;2),B(−3;4).
a) Tìm tọa độ điểm A′ là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục Δ
b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào kiến thức đã học về phép đối xứng trục để làm
Lời giải chi tiết
a) Ta có: 2.(−1)−2−1=−5≠0 nên A(−1;2) không thuộc ∆.
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.
Vì H thuộc ∆ nên H(x;2x−1). Ta có: →AH=(x+1;2x−3), vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là →uΔ=(1;2)
Vì AH vuông góc với ∆ nên →AH.→uΔ=0⇔(x+1).1+(2x−3).2=0⇒x=1
Từ đó suy ra H(1; 1).
Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'.
Suy ra {xA′=2xH−xA=2.1−(−1)=3yA′=2yH−yA=2.1−2=0
Vậy A'(3; 0).
b)
Ta có: 2.(−3)−4−1=−11;2.(−1)−2−1=−5 và (−11).(−5)=55>0nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.
Vì M thuộc Δ và A và A' đối xứng nhau qua Δ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng Δ.
Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và Δ.
Ta có: →A′B=(−6;4), suy ra →nA′B=(2;3) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là 2(x−3)+3(y−0)=0 hay 2x+3y−6=0.
Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình
{2x−y−1=02x+3y−6=0⇔{x=98y=54
Vậy M(98;54).