Giải bài 1 trang 84 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hai biến cố (A) và (B) có (Pleft( A right) = 0,4;Pleft( {B|overline A } right) = 0,2;Pleft( {B|A} right) = 0,3). Tính (Pleft( {A|overline B } right)).
Đề bài
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2;P\left( {B|A} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {A|\overline B } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).
‒ Sử dụng công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4.0,3 + 0,6.0,2 = 0,24\).
Do đó \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,24 = 0,76\)
\(P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,3 = 0,7\)
Áp dụng công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B |A} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{0,4.0,7}}{{0,76}} = \frac{7}{{19}} \approx 0,368\).