Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Chiều cao h(m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)$.

a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên?

Lời giải chi tiết

a) Vì $\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Rightarrow 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 50$.

Do đó, cabin đạt độ cao tối đa là 50m.

b) Thời gian để cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên là nghiệm của phương trình $40 = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)$ với $t > 0$ và t là giá trị nhỏ nhất.

$40 = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

+) Xét $t = \frac{{ - 25}}{6} + k50\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ và $t > 0$ ta có: $\frac{{ - 25}}{6} + k50 > 0$ $\Leftrightarrow k > \frac{1}{{12}}$. Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {1;2;3;...} \right\}$. Mà t đạt giá trị dương nhỏ nhất nên $t = \frac{{ - 25}}{6} + 1.50 = \frac{{275}}{6}$ (với $k = 1$)

+) Xét $t = \frac{{25}}{2} + k50\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ và $t > 0$ ta có: $\frac{{25}}{2} + k50 > 0$ $\Leftrightarrow k > \frac{{ - 1}}{4}$. Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}$. Mà t đạt giá trị dương nhỏ nhất nên $t = \frac{{25}}{2} + 0.50 = 12,5$ (với $k = 0$)

Vì $\frac{{275}}{6} > 12,5$ nên sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên.